Come si diffonde una malattia infettiva?

di Giorgio Bolognesi, Eleonora Melchiorri, Sergio Stumbo, Ginevra Borsetti, Giulio Peruzzi, Filippo Faggioli e Daniele Checchi (5P – Liceo Scientifico Roiti di Ferrara – anno 2021)

Aree tematiche di riferimento: matematica, biologia
Stato attuale del progetto: concluso

La matematica del contagio

Introduzione: “La matematica del contagio” è un’attività proposta dal Dipartimento di Matematica ‘Tullio Levi-Civita’ dell’università di Padova per gli studenti delle classi 4^a e 5^a delle scuole superiori, che si è tenuta live in data 7 aprile 2020, con lo scopo di fornire una spiegazione matematica sulla diffusione di una malattia, tema molto  delicato ai giorni nostri. L’attività si è svolta con una conferenza interattiva suddivisa in tre parti: un’introduzione, a cura della prof.ssa Alessandra Bianchi, sulla tematica trattata e sul relatore; un intervento, a cura del prof. Paolo Rossi, sui modelli matematici che descrivono l’evoluzione delle malattie legate al contagio; un’ultima parte più interattiva dedicata alle domande dei partecipanti. 

È possibile analizzare e interpretare graficamente il decorso di una malattia dal momento dell’incubazione fino al momento della guarigione o del decesso, attraverso dei modelli epidemiologici che prendono in considerazione i diversi parametri che sono coinvolti nella genesi e nell’evoluzione del fenomeno di interesse sanitario studiato, nel nostro caso specifico una malattia infettiva. Il prof. Rossi ha illustrato alcuni dei principali modelli epidemiologici per descrivere la trasmissione di una malattia infettiva, evidenziandone le potenzialità e le debolezze: modello esponenziale, modello logistico, modello SIS, modello SIR e modello SIRS.

Modello esponenziale

Il modello esponenziale analizza la diffusione di una malattia infettiva considerando diversi livelli di contagio. Il primo livello stima quante persone si sono infettate al giorno 0 (primo giorno). Il secondo livello analizza cosa accade il giorno 1 partendo dai dati raccolti il giorno 0. Analogamente per i livelli successivi. In questo modo è possibile costruire una relazione della forma

I(t)=I(t – 1)𝜆+I(t-1)=I(t-1)(𝜆+1)

dove :
t rappresenta il numero di giorni;
I(t) gli infetti del giorno t;
I(t-1) gli infetti del giorno precedente.
Fondamentale è il parametro 𝜆 che indica il numero di contagi al giorno per ogni infetto (più 𝜆 è grande più la curva salirà rapidamente). Si ottiene così il numero di infetti in un qualsiasi giorno.

Raccogliendo i dati raccolti sui contagiati del giorno stesso, gli epidemiologi sono in grado di determinare 𝜆 , da cui dipende la curva, per poi prevedere l’andamento del grafico della malattia nel futuro. Questo modello è utile per descrivere i primi giorni di pandemia, quando il numero di persone infettate cresce in modo esponenziale.

Il limite del modello esponenziale è rappresentato dalla soglia massima dei possibili infetti, in tal caso la popolazione di un paese e di conseguenza gli infetti, dovrebbero tendere all’infinito. È stato necessario quindi introdurre un nuovo modello che tenesse in considerazione la popolazione totale della nazione.

Modello logistico

Il modello logistico introduce il tetto massimo di persone, suddividendole in infetti e suscettibili (coloro che possono infettarsi). Considerando la funzione del modello esponenziale, è necessario moltiplicare il rapporto tra suscettibili e il numero massimo di persone, al parametro 𝜆 e agli infetti del giorno preso in esame e poi aggiungere i contagiati in quel giorno specifico. Esaminando il rapporto tra suscettibili e numero totale di persone, si nota che se il numero di suscettibili diminuisce, il rapporto diventa sempre più piccolo fino a quando i nuovi contagi si azzerano.

Fino a quando la frazione di suscettibili risulterà uguale ad 1, il grafico seguirà inizialmente quello del modello esponenziale, salvo poi invertire l’andamento fino a raggiungere una fase di plateau quando i suscettibili sono terminati e la popolazione risulta quasi interamente infettata. 

Il modello logistico è più realistico di quello esponenziale ma non è esaustivo in quanto non prevede che le persone infette possano guarire, quindi si arriverà a un momento in cui tutte le persone sono malate.  Questo modello è verosimile per malattie come l’AIDS, in cui una volta che si è infetti la situazione è irreversibile, ma non per malattie per cui è possibile guarire.

Modello SIS

Il modello SIS prende in considerazione la possibilità che una persona infetta guarisca, ma senza immunizzarsi, ritornando suscettibile. Perciò, il numero degli infetti è il risultato della differenza tra la velocità dei nuovi contagi (pari al prodotto tra 𝜆 *I e la frazione dei suscettibili) e la velocità con cui una persona infetta ritorna a essere suscettibile (pari al prodotto tra il parametro γ, la frazione di infetti che guarisce ogni giorno, e il numero di infetti).

Come evidenziato dal grafico, in una prima fase il numero totale di infetti cresce esponenzialmente, poi si assesta, determinando la fase endemica della malattia. Si può credere che, la malattia proceda graficamente per gradini, in base alle incognite del tempo che stabiliscono il passare dei giorni (t+1, t+2…); ma per ottenere una rappresentazione più veritiera e lineare nell’andamento, bisogna derivare la funzione degli infetti rispetto al tempo, così da comprenderne la fase di picco, di crescenza e decrescenza. Dal grafico si evince come il limite della derivata della funzione degli infetti rispetto al tempo tenda a 0, con il tempo che tende a infinito, a testimonianza dell’azzeramento dei contagi con lo scorrere dei mesi.
Questo modello è realistico per malattie come la meningite, lo streptococco, la gonorrea, ma è limitante per quelle in cui una persona guarita diventa immune.

Modello SIR e indice R_t

Il modello SIR introduce un nuovo parametro che, moltiplicato per il numero di infetti, fornisce la velocità con cui una persona guarisce, si immunizza o decede.

Il grafico ottenuto si divide in tre parti, la prima rappresenta i primi giorni dell’epidemia e segue un andamento esponenziale, la seconda prevede un picco di contagi e la terza dà inizio alla recessione della malattia. Matematicamente significa che nella fase di picco, il fattore di guarigione γ *I riequilibrerà quello di contagio λ*I, mentre in quella di recessione quello di guarigione avrà il sopravvento, poiché la popolazione sarà immunizzata.

In questo modello vengono introdotti due parametri importantissimi per la determinazione dei contagi strettamente interconnessi tra loro: l’indice R₀ e l’indice R. L’indice R₀ stabilisce il numero di contagi per ogni infetto per tutta la durata della malattia ed è dato dal rapporto tra λ e γ. L’indice R invece moltiplica il fattore R₀ per la frazione di suscettibili. Se l’indice R è maggiore di 1, il contagio si diffonde (significa che una persona contagia in media più di una persona), se è minore di 1, la malattia recede. Per far abbassare l’indice R, occorre diminuire il numero di contagi al giorno , attraverso procedure quotidiane come il lavaggio e la sanificazione delle mani, indossando mascherine e mantenendo la distanza interpersonale di sicurezza, per il caso specifico del COVID-19. Un altro modo per abbassare l’indice R è aumentare la frazione di infetti che guarisce ogni giorno γ, diminuendo così i tempi di guarigione, attraverso l’introduzione di nuovi vaccini.  Il modello SIR è realistico per malattie come varicella, rosolia, morbillo, vaiolo.

Per una spiegazione più approfondita del modello SIR si consiglia la visione del video LA MATEMATICA DELLE EPIDEMIE | Il modello SIR – YouTube , in cui il modello viene spiegato con relazioni matematiche differenziali.

Modello SIRS

Il modello SIRS aggiunge al modello SIR la possibilità che una persona guarita perda l’immunità e torni a essere suscettibile; introducendo un nuovo parametro, ξ, che indica la probabilità di perdere l’immunità al giorno ed è esprimibile anche come l’inverso della durata media dell’immunità, oppure come la frazione di guariti che perdono l’immunità ogni giorno. Questo nuovo dato, moltiplicato per il numero di guariti, andrà a sommarsi all’equazione del sistema dei suscettibili. L’andamento del grafico è simile a quello del modello precedente, ma invece di diminuire fino ad annullarsi dopo il picco, poiché la popolazione perde l’immunità dopo un periodo di tempo, si ottiene un andamento ondulatorio causato da un nuovo rialzo minimo dei contagi.

L’andamento del grafico è simile a quello del modello precedente, ma invece di diminuire fino ad annullarsi dopo il picco, poiché la popolazione perde l’immunità dopo un periodo di tempo, si ottiene un andamento ondulatorio causato da un nuovo rialzo minimo dei contagi. Questo oscillamento dipenderà soprattutto da ξ, più questo parametro è piccolo più la durata della malattia sarà lunga e l’andamento della curva sarà sempre più piatto.

L’andamento delle stagioni fa variare il parametro, che aumenta nelle stagioni invernali, quando il contatto con le persone è prolungato e avviene in luoghi chiusi e diminuisce nei periodi estivi. Il grafico risultante ha un picco iniziale a cui seguono picchi periodici minori, tuttavia senza mai affievolirsi.

Conclusioni e suggerimenti

La videoconferenza condotta dal prof. Paolo Rossi ha fornito delucidazioni molto precise e dettagliate riguardo all’analisi matematica dei modelli epidemiologici. La spiegazione teorica e le equazioni dei grafici sono state illustrate con semplicità e accuratezza, soprattutto nei modelli SIR e SIRS, che sono alla base degli studi epidemiologici. L’esito finale è stato quello di permettere di capire, in modo immediato, come una malattia possa diffondersi piuttosto rapidamente tra la popolazione. Vivere durante l’epidemia da Covid-19 e avere la consapevolezza di cosa stia accadendo, non è comune, per questo motivo l’incontro con il prof. Rossi è risultato educativo e formativo sotto tutti i punti di vista. Per avere la possibilità di comprendere al meglio le spiegazioni e le equazioni che sono alla base di ogni modello epidemiologico, l’incontro con il professore è consultabile online sulla piattaforma YouTube sotto il titolo di “La matematica del contagio”(La Matematica del Contagio – YouTube).

Per ulteriori approfondimenti sui modelli epidemiologici sono disponibili online video e pagine web dettagliate :

Modelli compartimentali e interpretazione dei dati dell’epidemia COVID19 in Italia – YouTube (Roberto Battiston dell’università di Trento dà un’esauriente spiegazione sui modelli epidemiologici legati all’epidemia COVID19)

Essere cittadini digitali oggi – Come interpretare un fenomeno naturale usando i dati – YouTube (un webinar molto dettagliato e accurato tenuto da Dario Menasce INFN) 

COVID-19: parola agli statistici. Video, articoli, approfondimenti per analizzare la pandemia | Dipartimento di Scienze Statistiche (unipd.it) (una pagina web dell’università di Padova in cui si possono trovare video, webinar, articoli e approfondimenti in cui viene analizzata l’epidemia COVID19)